GPT-6 Astra攻克57年摆圆难题

AI现在开启数学证明扫荡模式了。刚刚，又有数学爱好者用GPT-6 Astra把一个57年数学难题推进了一大步。

问题听上去不复杂：给你N个半径为1的圆盘，怎么把它们塞进一个大圆里，才能让大圆的半径尽可能小？数学家们在1969年就给出了漂亮的排列方案，但57年来，谁也没能严格证明那就是最优解。

于是这一次，数学爱好者nor掏出了GPT-6 Astra，一口气把15、16、17、18和20这5种情况，也就是N≤20的剩余情况都给严格证明了。此前，只有N≤14和N=19的情况已经得到验证。N到20并不是AI的极限，只是nor没想着往下证了。

卡了半个世纪的证明

假设有N个半径均为1的圆盘，以及一个半径为R的大圆。所有小圆盘必须完全位于大圆内部，可以与大圆边界相切，但不能超出边界。任意两个小圆盘不能发生内部重叠，但允许彼此相切。小圆盘可以在大圆内任意移动、排列。问题是：对于给定的正整数N，大圆半径R最小可以是多少？

寻找最优排列只是第一层，难就难在如何严格在数学上证明，排列已经达到极限，没有其他更好的摆法。

1968年，美国数学家葛立恒证明了N≤7的情况。1969年，数学研究者Udo Pirl把证明范围推进到10个圆盘，并进一步研究了11-19个圆盘的排列方案。但一直到2003年前后，N≤14以及N=19的情形才被严格证明。

nor是一位长期研究数学、机器学习和优化算法的技术作者，多次公开参与AI辅助数学研究。他十多年前就关注到了这个题目，而这个问题在过去十几年间确实也没啥进展。nor循序渐进：先让GPT-6 Astra处理N=15的情况；模型解决之后，再让它把同样的方法推广到16、17，以及18和20，GPT-6 Astra都成功给出了证明结果。

证明过程一如既往晦涩难懂。简单来说，GPT-6 Astra的核心思路是：不再直接寻找最优解，而是通过几何约束，把无限多种可能的排列缩减为有限的情况，再用计算机逐一排除，最终严格证明经典排列已经最优。

证明过程分为5步：

把靠外的圆盘推向边界。证明在满足特定条件时，可以把靠近外圆的圆盘向外移动，而不会引起重叠。这样就把圆盘分成了边界上的一组和内部的一组。

利用角度关系排除大量排列。因为圆盘不能重叠，它们之间必须保持一定的角度间隔。如果某种排列要求的角度总和超过360°，就可以直接排除。

让计算机枚举剩余可能。不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检查圆盘到圆心的距离区间及其环绕次序。

用几何刚性证明精确最优。前面的搜索只能证明，所有可行排列都非常接近已知的经典排列。接下来利用圆盘之间的接触约束，证明这些排列无法发生符合条件的微小变形，从而把“非常接近”提升为“严格一致”。15个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证。

还原原始排列。最后证明，原始排列中必然至少有一个圆盘接触外圆边界。这意味着不可能把所有圆盘塞进半径更小的外圆，从而完成最优性证明。

值得强调的是，并不是nor给了一轮提示词，Astra就哐哐哐全给证完了。nor在博客文章中写道，他作为人类在这项工作中的贡献包括：确定问题的可行性、引导模型、与漏洞百出的网页用户界面作斗争、忍受糟糕的文案、修复细微问题、反复推敲阐述、手动验证其有效性，以及使用Astra和Opus 5.5重新检查所有内容。

One More Thing

挺有意思的一件事是，nor把结果一发出来，发现用AI在研究同一个问题的同道中人还不少。还有网友表示，AI的突破让数学变得更容易理解了，“我都不知道数学领域能有这么浓厚的探索氛围”。站在数学爱好者们的角度来说，也是一种数学2.0时代的新气象吧。